Última classe

Dimarts 5 de maig farem una classe extra com a últim repàs, gràcies a que els alumnes d'informàtica, que és el que em toca els dimarts de 20-22, ens han donat permís.
Per tant, ens veiem dia 5 a les 20h a Mare de Deu de Toro.

Classe 26-03-3009

Repàs general

Vam fer tres preguntes de l'examen de matemàtiques aplicades a les ciències socials de 2006 (ja que les altres no entren al temari actual). Amb la informació de que disposam actualment no podem saber si el nivell serà semblant. Els dies que queden farem més exàmens 2007 i altres.

Previsió de classes

Hi queden pocs dies de classe. Dia 9 i dia 16 cauen dins les vacances de pasqua. I dia 23 d'abril és pels de UIB, que tenen l'examen dia 25.
Així queden:
dj 2 d'abril
dj 30 d'abril
dm 5 de maig (pendent de confirmació) per resoldre els últims dubtes ja que teniu l'examen dia 7 de maig.

Correlació

Estadística bidimensional

Hi ha situacions en què la relació entre dues variables no és exacta. Per exemple, l'alçada d'una persona i el nombre de sabata que calça. Amb aquest tema el pretén trobar una mesura del grau de validesa de la relació i una manera de trobar valors aproximats.

Les fórmules:

Fan falta algunes fórmules que són de l'estadística unidimensional:

Les mitjanes

i les variànces

Per saber el grau de validesa de la relació, utilitzam les fórmules:

La covariançaque, encara que té significat per sí mateixa, la podem considerar auxiliar i el coeficient de correlació que és el que ens interessa:

aquest nombre sempre està entre -1 i 1. Com més pròxim a 1 o a -1 és, més bona és la relació per aproximar-la per una recta. Com més aprop de zero, més dolenta.

Finalment per obtenir un valor aproximat, hem d'utilitzar la recta de regressió

Empram l'equació de la recta punt-pendent

amb pendent .

És a dir , la fórmula que cercam és

Un exemple:

A la següent taula hi ha el nombre de societat anònimes creades i donades de baixa a l'estat espanyol des de l'any 2003 al 2008

Font: Instituto Nacional de Estadística INE

Es demana
a) Es pot afirmar que hi ha correlació entre les dues variables?

b) En cas afirmatiu de la primera pregunta, quantes baixes s'esper en en un any de 3500 altes?

Solució:

x seran les altes i y les baixes.

Ordenam les dades en columnes:

Així
Les mitjanes

les variànces

d'on

i

La covariança
a)

coeficient de correlació, que és el que ens interessa:

no és una correlació gaire forta, però suficient com per acceptar-la

b)
la recta de regressió és

Per respondre a la pregunta hem de substituir la x pel nombre que ens demanen:

d'on y = 491'226 + 4216'3 = 4707'726

Resposta: Pot ser que hi hagi alguna correlació, ja que el coeficient és 0'62. Si fos així, en un any de 3500 altes de societats anònimes, hi hauria,aproximadament, unes 4708 baixes.

Classe 5-3-2009

La distribució normal.

Aquesta distribució té molta importància perquè és molt present en diverses situacions de la vida: per exemple, l'efecte que produeix una determinada dosi d'un medicament, el pes de les persones, la resistència de materials ... (I, a més, és un candidat a sortir a l'examen)

La seva gràfica és:

El que ens interessa és l'àrea de determinats trossos. Per desgràcia no hi ha cap fórmula pel seu càlcul i hem d'utilitzar els seus valors tabulats.

Començarem aprenent a utilitzar la taula de la Normal de mitjana zero i desviació típica 1, que es simbolitza per N(0,1); després ens familiaritzarem amb una normal qualsevol (tipificarem) i finalment anirem a aprendre a
resoldre problemes que es resolen utilitzant aquesta distribució.

La Normal N(0,1)

L'àrea total val 1 i és simètrica respecta la seva mitjana.

Cas 1. P(1<1'32) = 0'9066. Simplement consultant la taula

Cas 2. P(z>1'32) = 1- P(z<1'32) = 1-0'9066= 0'0934. Podeu veure al gràfic de baix que l'àrea ombrejada és la complementària de la de dalt.

Cas 3. P(z<-1'32) = 1- P(z<1'32) = 1- 0'9066= 0'0934. Per simetria, l'àrea és la mateixa que l'anterior.

Cas 4. P(z>-1'32) = 1-P(z<-1'32) com en el cas 2. I ara aplicant el cas 3, = 1-(1-P(z<1'32)) = P(z<1'32) = 0'9066. Si mirau el gràfic, podreu veure com l'àrea és igual, per simetria, al primer cas.

Cas 5. Combinacions de les anteriors. És la diferència entre el valor major i el menor.
Un exemple seria P(-2'37 < z <1'07) = P(z<1'07)-P(z<-2'37) = 0'8577- (1- P(z<2'37)) = 0'8577 -1 + P(z<2'37) = 0'8577-1+0'9911= 0'8488

Tipificar una variable

S'ha d'utilitzar la fórmula

Per exemple per la N(16,4) si ens demanen P(X<12)

P(X<12) = P(Z<(12-16)/4) = P(Z<1)
= 0'8438

Links:

Com emprar la taula, a la Viquipèdia (en castellà)

Classe de 26-2-2009

Tècniques de recompte

Una regla bastant útil és pensar en el nombre de possibilitats que hi ha pel primer cas, quantes pel segon, etc i multiplicar-les.
Una altre, que pot ser complementària de l'anterior és la del diagrama en arbre, que és una tècnica molt visual. En el cas que no importi l'ordre, és la millor eliminant els casos repetits. La alternativa és la de la fórmula dels nombre combinatoris:

A més hem repassat probabilitat d'una forma més formal i hem fet uns quants exercicis.

Classe 19-2-2009

Probabilitat

Continuació d'aquest tema que havíem començat al setmana passada:

Successos compatibles (poden passar a la vegada, la intersecció no és buida) i incompatibles (no poden passar a la vegada, la intersecció és buida).
Per exemple si treim una carta a l'atzar d'una baralla i consideram els esdeveniments A="treure figura", B="treure As", C="treure espasa", llavors A i B són incompatibles (no pot sortir una carta que a la vegada sigui figura i as) mentre que A i C són compatibles (figura d'espasa).

Fórmula de la unió d'esdeveniments. P(A U B) = P (A) + P(B) - P(AnB).
A A (vermell i verd) i a B (blau i verd) hi comptam els elements comuns; és a dir, que A conté AnB (verd) i B també conté AnB. Per tant AnB ho hem comptat dues vegades, d'aquí que la restem una.

Successos contraris o complementaris. És la negació de l'esdeveniment.
El contrari de A="treure un 5" és A'="no treure un 5".
Això, en aquest cas tant obvi, pot semblar inútil, però hi ha ocasions en que simplifica molt els càlculs si s'utilitza la fórmula P(A') = 1 -P(A). És important recordar que junts ens donen l'espai mostral (AUA'=E) i que no tenen elements en comú, són incompatibles (AnA'= buit).
En el dibuix A és la part vermella i "la resta del món" és A', en blau.

Probabilitat condicionada. És aquella en què reduïm l'espai mostral perquè sabem informació extra. La notació que s'ha d'utilitzar és P(A|B)
Treim una carta d'una baralla, si sabem que és una figura, quina és la probabilitat que sigui el rei d'oros? P(rei oros | figura) = 1/12. Sense la informació extra, la pregunta seria: quina és la probabilitat d'obtenir el rei d'oros P(rei oros) = 1/48.

Successos independents són aquells en que el fet que passi un no té cap influència en l'altre.
Per exemple, quan tiram dos daus, el resultat del primer no té cap influència en el resultat del segon (i al revés, també).

Esdeveniments dependents són aquells en que el resultat d'un canvia la probabilitat de que ocorri l'altre.
Treim dues cartes d'una baralla sense reposició, és a dir, no tornam la primera al munt. Llavors, el resultat de la primera té importància per la segona.

Classe 12 - 2 -2009

Probabilitat

La és una manera de mesura l'incert.
Vam veure els conceptes bàsiques de probabilitat de forma essencialment pràctica:

Experiment determinista vs aleatori
Un experiment és aleatori quan en les mateixes circumstàncies no sempre s'obté el mateix resultat.

Espai mostral
És el conjunt format per tots els resultats possibles. Es denota per U o per E o per omega majúscula.

Esdeveniment simple i esdeveniment compost
Un esdeveniment és simple o elemental quan està format només per un únic resultat possible. Altrament es diu compost.

Regla de Laplace
És una manera molt important de calcular la probabilitat. Només es pot aplicar quan tots els resultats són igualment probables. Aleshores la probabilitat d'un succés és el nombre de casos favorables dividit pel nombre de casos possibles

Unió i intersecció d'esdeveniments.
La unió de dos esdeveniments és el conjunt format per tots els elements dels dos conjunts.
La intersecció és el conjunt format per els elements comuns als dos conjunts.


Uns enllaços interessants, si teniu temps:
Probabilitats curioses a aulapublica
Reflexions sobre la percepció de la probabilitat a El món de la neurociència.

Classe 5 - 2 -2009

Estadística descriptiva

Vam veure les idees bàsiques d'estadística descriptiva: població, variable qualitativa, variable quantitativa (discreta i contínua) , freqüències (absoluta, relativa i acumulada) moda, mediana, mitjana, rang i desviació típica.

Per calcular la mitjana i la desviació típica utilitzam una taula com aquesta (on també hi podeu veure el gràfic que li correspon, un diagrama de barres):



La mitjana és
La variança és
I la desviació típica és l'arrel quadrada de la variança:

Classe 29-1-2009

Càlcul de màxims i mínims de funcions utilitzant la funció derivada.
Els punts allà on s'anul·la la derivada són els "candidats" a ser màxims o mínims
Així una vegada tenim els punts candidats, hem de mirar tan abans com després si creix o decreix i llavors treure conclusions.

Passos a seguir:
1. Calcular la derivada de la funció
2. Igualar la derivada a zero. Les solucions de l'equació són els possibles màxims i/o mínims.
3. Miram el valor de la derivada en un punt abans i en un punt després de cada candidat. Si és negatiu, decreix; i si és positiu, creix
4. Si abans del punt creix i després decreix, tenim un màxim. Si abans decreix i després creix tenim un mínim. Altrament no tenim cap màxim ni cap mínim.
5. Si tenim acotat x (com per exemple la funció només ens interesa entre 0 i 6), hem de mirar el valor de la funció als punts candidats i també en els extrems de l'acotació (en aquest cas a 0 i 6) per comparar els valors.

Podeu veure un exemple de tot el procés aquí.

Com a deures hi ha trobar la recta tangent a una funció en un punt. Si no sabeu com fer-ho, mirau la classe de dia 8 de gener.

[Nota pels que feu UIB] Dels exercicis que vos vaig passar a través de na Mar, no passeu molt de temps amb el 4

Classe 22-1-2009

Derivada d'un producte de funcions (f+g)'=f'g+fg'

Per exemple:


Derivada del quocient de funcions
per exemple:
És important que identifiqueu en cada cas quina és la funció que juga el paper de f i quina de g.

Classe 16-1-2009

Utilització de la definició de la definició de derivada per trobar la funció derivada (feu clic damunt la imatge per veure-la bé)

Càlcul de derivades
Hem vist els casos més senzills (feu clic damunt la imatge per veure-la bé)

Classe 8-1-2009

Després de corregir els exercicis pendents de asímptotes i aprofitar per repassar límits, hem començat el tema de derivades.

Hem començat amb una breu introducció històrica dels problemes que van duu al concepte cabdal de la derivada.

El primer concepte que hem vist és el de Taxa de variació mitja (TVM). Es defineix com


o bé com:
Serveix per mesura com creix la funció entre dos punts. Si el dos punts estesin units per una recta tindrien per pendent la TVM.
Però el que realment interessa no és tan aquest creixement entre dos punts sinó el creixement instantani en un punt. Aquesta idea és la derivada:


o bé

Si fem el tros cada vegada més petit (fem tendir-ne la longitud entre a i l'altre punt a zero), tindrem la derivada.

Gràficament:Aquest dibuix és la primera aplicació de la derivada: és el pendent de la recta tangent a una corba en un punt.