Classe 26-03-3009

Repàs general

Vam fer tres preguntes de l'examen de matemàtiques aplicades a les ciències socials de 2006 (ja que les altres no entren al temari actual). Amb la informació de que disposam actualment no podem saber si el nivell serà semblant. Els dies que queden farem més exàmens 2007 i altres.

Previsió de classes

Hi queden pocs dies de classe. Dia 9 i dia 16 cauen dins les vacances de pasqua. I dia 23 d'abril és pels de UIB, que tenen l'examen dia 25.
Així queden:
dj 2 d'abril
dj 30 d'abril
dm 5 de maig (pendent de confirmació) per resoldre els últims dubtes ja que teniu l'examen dia 7 de maig.

Correlació

Estadística bidimensional

Hi ha situacions en què la relació entre dues variables no és exacta. Per exemple, l'alçada d'una persona i el nombre de sabata que calça. Amb aquest tema el pretén trobar una mesura del grau de validesa de la relació i una manera de trobar valors aproximats.

Les fórmules:

Fan falta algunes fórmules que són de l'estadística unidimensional:

Les mitjanes

i les variànces

Per saber el grau de validesa de la relació, utilitzam les fórmules:

La covariançaque, encara que té significat per sí mateixa, la podem considerar auxiliar i el coeficient de correlació que és el que ens interessa:

aquest nombre sempre està entre -1 i 1. Com més pròxim a 1 o a -1 és, més bona és la relació per aproximar-la per una recta. Com més aprop de zero, més dolenta.

Finalment per obtenir un valor aproximat, hem d'utilitzar la recta de regressió

Empram l'equació de la recta punt-pendent

amb pendent .

És a dir , la fórmula que cercam és

Un exemple:

A la següent taula hi ha el nombre de societat anònimes creades i donades de baixa a l'estat espanyol des de l'any 2003 al 2008

Font: Instituto Nacional de Estadística INE

Es demana
a) Es pot afirmar que hi ha correlació entre les dues variables?

b) En cas afirmatiu de la primera pregunta, quantes baixes s'esper en en un any de 3500 altes?

Solució:

x seran les altes i y les baixes.

Ordenam les dades en columnes:

Així
Les mitjanes

les variànces

d'on

i

La covariança
a)

coeficient de correlació, que és el que ens interessa:

no és una correlació gaire forta, però suficient com per acceptar-la

b)
la recta de regressió és

Per respondre a la pregunta hem de substituir la x pel nombre que ens demanen:

d'on y = 491'226 + 4216'3 = 4707'726

Resposta: Pot ser que hi hagi alguna correlació, ja que el coeficient és 0'62. Si fos així, en un any de 3500 altes de societats anònimes, hi hauria,aproximadament, unes 4708 baixes.

Classe 5-3-2009

La distribució normal.

Aquesta distribució té molta importància perquè és molt present en diverses situacions de la vida: per exemple, l'efecte que produeix una determinada dosi d'un medicament, el pes de les persones, la resistència de materials ... (I, a més, és un candidat a sortir a l'examen)

La seva gràfica és:

El que ens interessa és l'àrea de determinats trossos. Per desgràcia no hi ha cap fórmula pel seu càlcul i hem d'utilitzar els seus valors tabulats.

Començarem aprenent a utilitzar la taula de la Normal de mitjana zero i desviació típica 1, que es simbolitza per N(0,1); després ens familiaritzarem amb una normal qualsevol (tipificarem) i finalment anirem a aprendre a
resoldre problemes que es resolen utilitzant aquesta distribució.

La Normal N(0,1)

L'àrea total val 1 i és simètrica respecta la seva mitjana.

Cas 1. P(1<1'32) = 0'9066. Simplement consultant la taula

Cas 2. P(z>1'32) = 1- P(z<1'32) = 1-0'9066= 0'0934. Podeu veure al gràfic de baix que l'àrea ombrejada és la complementària de la de dalt.

Cas 3. P(z<-1'32) = 1- P(z<1'32) = 1- 0'9066= 0'0934. Per simetria, l'àrea és la mateixa que l'anterior.

Cas 4. P(z>-1'32) = 1-P(z<-1'32) com en el cas 2. I ara aplicant el cas 3, = 1-(1-P(z<1'32)) = P(z<1'32) = 0'9066. Si mirau el gràfic, podreu veure com l'àrea és igual, per simetria, al primer cas.

Cas 5. Combinacions de les anteriors. És la diferència entre el valor major i el menor.
Un exemple seria P(-2'37 < z <1'07) = P(z<1'07)-P(z<-2'37) = 0'8577- (1- P(z<2'37)) = 0'8577 -1 + P(z<2'37) = 0'8577-1+0'9911= 0'8488

Tipificar una variable

S'ha d'utilitzar la fórmula

Per exemple per la N(16,4) si ens demanen P(X<12)

P(X<12) = P(Z<(12-16)/4) = P(Z<1)
= 0'8438

Links:

Com emprar la taula, a la Viquipèdia (en castellà)